【wei*2黑白寫VBA】數值微分（中央差分法）－【wei*2】

會寫到數值微分主要是因為…之前所提到的牛頓法會需要用到

基本上，如果只是單純要跑牛頓法，可以使用Richardson's Extrapolation得到的公式，這邊就不再細講。

比較讓我感到有興趣的，當然是推廣到N階都可以應用的方法…。

幾經尋找，總算找到所謂的…Finite Difference Method

一般來說，數值微分大概都分為Forward、Backward跟Central三種方式。

個人是採用Central來實作，公式大概是這個樣子…。

$\delta _{h}^{n}\left [ f \right ]\left ( x \right )= \sum_{i=0}^{n}\left ( -1 \right )^{i}\binom{n}{i}f\left ( x+\left ( \frac{n}{2}-i \right )h \right )$

研究了一下，會發現需要使用到Pascal's triangle…。整理思緒來列虛擬碼（一樣是亂寫）…。

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N階數值微分演算法（Algorithm）

宣告階數（項次） n 、i 、代入值 x 、步長 h 、function

For i = 0 to n step 1

$function = function +\left ( -1 \right )^{i}\binom{n}{i}f\left ( x+\left ( \frac{n}{2}-i \right )h \right )$

程式結束

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先來測試一下 $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left ( sinx \right )\mid _{x=\pi}$

解析解

再來試試 $\frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}\left ( x^4 \right )\mid _{x=5}$

解析解為 $24x=120\mid _{x=5}$

比較起來，都還ok啦。

上一篇提到的牛頓法程式當中，則是採用精度比較高，利用Richardson's Extrapolation改善過後的Central difference formula

${f}'\left ( x \right )=\frac{8\left [ f\left ( x_n+h \right )-f \left ( x_n-h \right )\right ]-f\left ( x_n+2h \right )+f\left ( x_n-2h \right )}{12h}$